Longitud Elipse Método de Ramanujan

Enunciado del Problema

Determinar la longitud aproximada de una elipse definida por la ecuación $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, $$ donde \(a\) es el semieje mayor y \(b\) el semieje menor. Se utilizará la fórmula de aproximación de Srinivasa Ramanujan: $$ L \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right], $$ para calcular la longitud de la elipse con \(a = 7\) y \(b = 4\).

Elipse de Semiejes 7 y 4

A continuación se muestra el dibujo de una elipse con semiejes 7 y 4. Se utiliza una escala de 10 para visualizarla adecuadamente.

Ejercicio: Longitud de una Elipse usando el Método de Ramanujan

La elipse está definida mediante la ecuación:

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, $$

donde \(a\) es el semieje mayor y \(b\) el semieje menor. En este ejercicio utilizaremos:

• \(a = 7\)
• \(b = 4\)

Fórmula de Ramanujan

La fórmula de aproximación propuesta por Srinivasa Ramanujan para la longitud \(L\) de la elipse es:

$$ L \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]. $$

Historia y Contexto

Srinivasa Ramanujan (1887-1920) fue un matemático autodidacta indio cuyos trabajos en teoría de números, series infinitas y funciones elípticas han dejado un legado perdurable. En el campo de las elipses, Ramanujan exploró diversas series y aproximaciones para resolver problemas complejos, entre ellos el cálculo de la longitud de una elipse, que de forma exacta se expresa mediante integrales elípticas.

La aproximación que presentamos se deriva de su profundo análisis y su habilidad para identificar patrones en series y promedios que permiten simplificar cálculos complicados. Aunque la derivación completa es extensa, su intuición matemática le permitió condensar la complejidad en una fórmula simple que ofrece una precisión sorprendente para una amplia gama de valores de \(a\) y \(b\).

Pasos Detallados del Cálculo

1. Calcular \(a+b\):
   Con \(a = 7\) y \(b = 4\): $$ a+b = 7 + 4 = 11. $$
2. Calcular \(3a+b\) y \(a+3b\):
   Para \(3a+b\): $$ 3a+b = 3 \times 7 + 4 = 21 + 4 = 25. $$
   Para \(a+3b\): $$ a+3b = 7 + 3 \times 4 = 7 + 12 = 19. $$
3. Evaluar la raíz cuadrada:
   Multiplicamos los dos términos: $$ (3a+b)(a+3b) = 25 \times 19 = 475. $$
   Calculamos la raíz: $$ \sqrt{475} \approx 21.79. $$
4. Aplicar la fórmula de Ramanujan:
   Sustituimos los valores en la fórmula: $$ L \approx \pi \left[3(11) - 21.79\right]. $$
   Calculamos \(3(11)\): $$ 3(11) = 33. $$
   Entonces, $$ L \approx \pi (33 - 21.79) = \pi (11.21). $$
   Finalmente, evaluamos: $$ L \approx 3.1416 \times 11.21 \approx 35.23. $$

Conclusión

Utilizando el método de Ramanujan, la longitud aproximada de la elipse con \(a = 7\) y \(b = 4\) es:

$$ L \approx 35.23 \text{ unidades}. $$

Este ejercicio ilustra de forma detallada tanto el procedimiento de cálculo utilizando la fórmula de Ramanujan como el contexto histórico y matemático que permitió a Ramanujan desarrollar esta aproximación tan precisa y sencilla para el cálculo de la longitud de una elipse.

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